(Teste com meu conteúdo publicado na LigaFAB, não deve ser reproduzido fora da versão Alfa)
A calculadora hipergeométrica é uma ferramenta amplamente utilizada por jogadores de todos os card games. Mas como exatamente funciona, e como posso usar essa ferramenta em Flesh and Blood? No artigo de hoje eu vou dar uma explicação detalhada sobre a calculadora hipergeométrica, como o primeiro artigo de uma série sobre a aplicação da matemática e estatística no Flesh and Blood, tanto no deckbuilding como no gameplay.
O que é a distribuição hipergeométrica?
De forma simples, é um conjunto de fórmulas para responder perguntas da família "a partir de um grupo de objetos que podem ser divididos em 2 subgrupos, quais são as probabilidades ao retirar elementos desse grupo em respeito aos subgrupos, sem devolver objetos ao retirá-los?". Para um exemplo bem prático, considere "a partir de um deck de 60 cartas que pode ser dividido entre 40 cartas vermelhas e 20 azuis, qual a chance de eu comprar exatamente 1 carta azul em uma mão de 4 cartas?". Para a parte estatística, o termo importante aqui é "sem devolver os objetos" - caso você embaralhasse o deck de 60 cartas antes de tirar cada uma das 4 cartas para ver suas cores, a distribuição estatística correta é chamada de binominal, que é mais fácil de calcular mas não corresponde com os eventos de um baralho de cartas.
Sem nos preocupar exatamente com quais as fórmulas que são utilizadas, é importante entender os seguintes conceitos e terminologia:
Para utilizar a distribuição hipergeométrica, é necessário separar as cartas do baralho em exatamente dois grupos. Se seu deck contém cartas vermelhas, amarelas e azuis, a distinção em um cálculo precisa ser por exemplo entre "cartas vermelhas" vs "cartas não-vermelhas".
é o tamanho da população, geralmente em cardgames estamos falando de quantas cartas tem o baralho, geralmente
é o número de sucessos, ou seja, o tamanho do "grupo de interesse", como quantas cartas azuis tem o deck
é o tamanho da amostra, quantas cartas iremos tirar do baralho. Geralmente no Flesh and Blood,
é a variável aleatória. A notação por exemplo indica a probabilidade de comprar 1 ou mais cópias com a propriedade desejada, e a chance de comprar exatamente 1 cópia.
Voltando ao exemplo do parágrafo anterior, com um baralho de 60 cartas sendo 20 azuis, e tendo interesse em cartas azuis em uma mão de 4 cartas, temos . Colocando esses números em uma calculadora como a do FaBrary (link externo) ou StatTrek (link externo), podemos ver que a chance de comprar zero azuis é de 18,8%, exatamente uma azul é 40,5%, e duas ou mais azuis 40,7%.
Utilizando uma calculadora para construir um deck
O exemplo anterior é uma utilidade bem simples da calculadora, e uma que pode ser usada com bastante frequência durante o processo de deckbuilding. Quando travamos os valores e , podemos variar o para qualquer grupo de interesse que o deck possui, e ter as probabilidades de comprar qualquer quantidade de cartas com aquela propriedade em uma mão. Alguns exemplos práticos para fixar bem esse tipo de experimento com , utilizando os decks que recentemente fizeram top 8 no ProTour Las Vegas:
O de Jacob Clements tinha k=18 cartas com , tendo 77% de chance de comprar pelo menos uma delas em cada mão.
A de Jonathan Magnuson tinha k=6 cartas que dão para seu , 35% de comprar uma delas a cada mão.
O de Filipe Lima Cardoso tinha k=35 instants. Isso nos dá somente 2,6% de não comprar nenhuma delas, e 44,3% de comprar 3 ou 4.
Esses cálculos são úteis para ter uma ideia de "brickar" durante uma partida, e pode ser utilizado para contar por exemplo as cartas com em um deck de , as cartas de em um deck de , as cartas que dão para a arma em um deck de . Mas qual exatamente deve ser o número que eu devo mirar? Responder essa pergunta é bem mais difícil do que parece, e eu vou voltar nela em um futuro artigo. Por enquanto, vamos nos atentar somente em como obter essa informação.
Utilizando a calculadora durante uma partida,
Obviamente não é uma jogada legal abrir a calculadora durante uma partida, mas nós intuitivamente tentamos achar exatamente qual é a distribuição hipergeométrica durante nossas partidas sem nem perceber que é o que está acontecendo. Um exemplo clássico: seu oponente de está atacando com uma e tem duas cartas na mão. Você sabe que o ataque é letal se você bloquear com somente uma carta e o oponente tiver uma cópia de . Qual é a chance de uma das cartas na mão ser uma Toxin?
A resposta dessa pergunta também não é simples, pois as jogadas do oponente durante o ciclo atual foram feitas já com conhecimento das cartas na mão, o que altera as jogadas (discussão similar no meu artigo "E se você pudesse ver a mão do oponente"). Então vamos reformular para o momento onde não existia informação: antes da mão ser comprada (e assumindo que não há arsenal). Supondo por exemplo que até aquele momento na partida foram 25 cartas utilizadas (jogadas, bloqueando, pitchadas), temos . Se até agora uma cópia de Tarantula Toxin foi vista, e são 3 cópias totais no deck, , e mantemos nosso travado, pois o interesse é antes de comprar a mão. Se você colocar estes números na calculadora encontrará a chance para , mas deixarei a resposta como exercício, principalmente para você poder testar se sua intuição estaria longe da resposta.
Apesar de não podermos utilizar a calculadora durante a partida, em vez de usar a intuição podemos ter uma aproximação muito boa se conseguirmos "decorar" alguns valores possíveis, já que o valor é sempre travado, e k varia somente entre 1 e 3. No final desse artigo tem uma tabela com alguns valores que eu tento manter em mente durante as minhas partidas.
Combos: trabalhando com múltiplas variáveis e
Até aqui estávamos trabalhando somente com 2 grupos: as cartas de "interesse", e o resto do deck. Em muitas situações, queremos construir combos de mais de uma carta. Para isso existe a distribuição hipergeométrica multivariada. Você pode usar uma calculadora com suporte a múltiplas variáveis no Deckulator (apesar de usar uma terminologia de Magic The Gathering, a matemática é a mesma). Nesse caso, para cada grupo de interesse criamos uma "linha" na tabela da calculadora, e deixamos um grupo para o resto do deck, que o Deckulator já nos dá preenchido com o nome "other". É importante que os grupos escolhidos particionem o baralho, ou seja, uma carta não pode estar em mais de um grupo ao mesmo tempo.
Utilizando o Armory Deck Boltyn pré-construído. Esse deck vem com 30 cartas com (os "starters" do Ser Boltyn), 12 extenders (reações de ataque e ), e 6 finishers (como ). Como o deck tem 60 cartas, tem outras 12 cartas que não temos interesse nessa análise (reações de defesa e Banneret). Qual é a chance de uma mão de 4 cartas conter pelo menos 1 carta com Charge, um extender e um finisher? Se colocarmos estas quatro linhas na tabela do Deckulator, ele nos dirá que a chance é de somente 15,3%. Claro que o Boltyn não precisa de um extender todo turno, pois sua arma serve bem esse propósito. Se deixamos a calculadora com as linhas "other" (24), "charge" (30) e "finisher" (6), a calculadora nos dá a chance 31,7% de comprarmos um finisher junto de um charge.
Note que isso diferente da pergunta "qual é a chance de eu comprar um charge na mesma mão que eu comprei um dos meus finishers?". Nesse caso, estamos trabalhando com informação já conhecida. Podemos tirar essa informação "para fora" da variável aleatória. Agora estaríamos trabalhando com um deck de N=59 cartas, que contém 11 finishers, pois já tiramos um dele para nossa mão. Mas o interesse está somente em comprar uma carta de Charge dentre as outras 3 cartas da nossa mão, logo n=3, das k=30 cartas de Charge no deck. Utilizando a calculadora simples (univariada), vemos que a chance de pelo menos uma das 3 cartas restantes da mão ser um charge é de 89%.
Conclusão
As calculadores hipergeométricas são excelentes ferramentas para guiar a construção de um deck. No entanto, ela somente nos dá as chances de certos eventos, mas não nos fala exatamente qual chance deveríamos estar mirando. O único jeito de ter 100% de chance de comprar uma carta com Charge dentre as 60 cartas do seu Boltyn é ter 57 cartas de Charge no deck, o que obviamente não é factível. É importante saber que um determinado evento tem 40% ou 60% de chance, mas no próximo capítulo dessa série vou explorar uma das formas de calcular quais devem ser as chances que devemos buscar. Até lá, um jeito razoável de sentir se a porcentagem está correta é utilizando métodos como Goldfishing, que você pode ler mais sobre no artigo do Alexandre Castanheira: Guia sobre Goldfishing.
Além de guiar a construção de decks, a ideia por trás da distribuição também pode ajudar com algumas decisões durante uma partida. Todo jogador acaba intuitivamente tentando aproximar alguns desses valores durante suas partidas. Dê uma olhada na tabela abaixo, mencionada em seção anterior, para algumas das probabilidades para a pergunta "será que ele/ela tem a carta?". Sua intuição da jogada da foi próxima do resultado da calculadora? E quão perto ficou a linha na tabela abaixo como melhor aproximação para essa jogada ()?
| N (cartas restantes no baralho) | k (cópias restantes no deck) | P(X$\geq1$) |
| ------------------------------- | ---------------------------- | ----------- |
| 40 | 3 | 28% |
| 30 | 3 | 32% |
| 20 | 3 | 42% |
| 40 | 2 | 19% |
| 30 | 2 | 25% |
| 20 | 2 | 37% |
| 30 | 1 | 13% |
| 20 | 1 | 20% |